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幂函数导数

2023-07-25 10:05:57 高起点

  幂函数求导公式:y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。幂函数导数公式的证明:y=x^a,两边取对数lny=alnx,两边对x求导(1/y)*y'=a/x,所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

  幂函数求导公式

  幂函数导数公式的证明:

  y=x^a。

  两边取对数lny=alnx。

  两边对x求导(1/y)*y'=a/x。

  所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

  在这个过程之中:

  1、lny首先是y的函数,y又是x的函数,所以,lny也是x的函数。

  2、lny是一目了然的,是显而易见的,是直截了当的,所以称它为显函数,explicitfunction。

  3、设u=lny,u是y的显函数,它也是x的函数,由于是隐含的,称为隐函数,implicit。

  4、u对y求导是1/y,这是对y求导,不是对x求导。

  5、u是x的隐函数,u对x求导,用链式求导,chainrule。

  6、u对x的求导,是先对y求导,然后乘上y对x的求导,也就是:

  du/dy=1/y。

  du/dx=(du/dy)*(dy/dx)=(1/y)*y'=(1/y)y'。

  幂函数的单调区间

  当α为整数时,α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性:

  ①当α为正奇数时,图像在定义域为R内单调递增;

  ②当α为正偶数时,图像在定义域为第二象限内单调递减,在第一象限内单调递增;

  ③当α为负奇数时,图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);

  ④当α为负偶数时,图像在第二象限上单调递增,在第一象限内单调递减。

  当α为分数时(且分子为1),α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性:

  ①当α>0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递增;

  ②当α>0,分母为奇数时,函数在第一三象限各象限内单调递增;

  ③当α<0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递减;

  ④当α<0,分母为奇数时,函数在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减)。

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